流形上的一种涂抹型中心极限定理及其在高维球面上的应用

文献中流形上广义 Fréchet 均值（取值于分层空间的数据描述子，如内蕴均值、测地线等）的中心极限定理（CLT）仅在 Fréchet 函数的 Hessian 经验过程适当收敛时才成立，正如原型 BP-CLT（Bhattacharya 与 Patrangenaru（2005））的证明那样。这在许多现实场景中并不成立，我们因而给出一个新的非常一般的 CLT。特别地，其包含如下场景：在合适的坐标图中，样本均值以尺度 $n^{\alpha}$（指数 ${\alpha} < 1/2$）且具非正态分布渐近波动。由于 BP-CLT 仅给出经 $n^{1/2}$ 重标度后渐近正态的波动，正如随机向量的经典 CLT 一样，这些更低的速率（略称为涂抹性）迄今仅在圆上被观测到（Hotz 与 Huckemann（2015））。我们精确化流形上涂抹性的概念，给出任意维球面上二重涂抹性的例子，并表明涂抹性虽“几乎从不”发生，却可能对邻近的连续统样本场景产生严重的统计影响。事实上，该效应随维数增加而增强，尤其在低样本量高维场景中表现突出。