系统发育树空间中 Fréchet 均值的极限行为

正如我们在关于具有四个叶子的系统发育树空间 ${\boldsymbol T}_{4}$ 的前作中所论证的，该空间的全局及局部拓扑结构在 ${\boldsymbol T}_{4}$ 上概率分布的样本 Fréchet 均值的非经典极限行为中起着重要作用。然而，该文所使用的技术特定于 ${\boldsymbol T}_{4}$，无法适配以分析具有 $m(\geqslant5)$ 个叶子的系统发育树空间 ${\boldsymbol T}_{m}$ 中的 Fréchet 均值。为了研究后者，本文首先研究了 ${\boldsymbol T}_{m}$ 的 log 映射，这是黎曼流形上指数映射逆的推广。随后，基于 log 映射的修正版本，我们刻画了位于最高维或余维一 strata 中的 ${\boldsymbol T}_{m}$ 内的 Fréchet 均值。我们推导了相应样本 Fréchet 均值的极限分布，从而推广了我们之前的结果。特别是，结果表明，尽管这些极限分布与高斯分布相关，但其具体形式取决于 Fréchet 均值所在 strata 的余维数。