与弗雷歇均值相关的扩散过程

本文研究了在黎曼流形上以弗雷歇均值 $\mu$ 为弗雷歇均值的独立同分布随机变量 $\{X_k\vert k\geq 1\}$ 的样本弗雷歇均值在映射 $\exp^{-1}_{\mu}$ 下的重新缩放像。我们证明，在适当的缩放下，这些像弱收敛于一个扩散过程。类似于欧氏情形，该极限扩散过程在线性变换下是一个布朗运动。然而，除了 $\exp^{-1}_{\mu}(X_1)$ 的协方差结构外，该线性变换还依赖于流形的整体黎曼结构。