球面连续可湊测度的支撑

我们研究具有密度 $\rho$ 的球面 $\mathbb{S}^m$ 上的可湊、方向可湊和有限样本可湊概率测度 $\mu$ 的支撑。首先，在旋转对称情况下，我们指出，只要其支撑位于以弗雷谢均值中心、半径 $R_m>\pi/2$ 的测地球内，即为不可湊，亦即不可方向可湊，其中 $R_m=\pi/2+O(1/m)$。在一般情况下，我们指出，当支撑 contained in closed ball of radius $\pi/2$ 时，既不适用于方向可湊，也不适用于完全可湊；然而，过支撑半径 $\pi/2$ 后，完全可湊可能破裂，但方向可湊仅在支撑半径 $R_m$ 处破裂。其次，我们证明了此阈值的尖锐性。对于每一个 $\varepsilon>0$，我们证明存在 $m_0(\varepsilon)$，使得对于所有 $m\ge m_0(\varepsilon)$，存在一个旋转对称的连续可湊概率测度，其支撑位于以弗雷谢均值中心、半径 $\pi/2+\varepsilon$ 的球内。第三，在每个维度中我们构造方向可湊的连续分布，其支撑 contained in 半径 $\pi/2+\varepsilon$ 的球内，其弗雷谢函数的 Hessian 秩为一。最后，我们研究有限样本可湊性。我们指出，任何连续不可湊分布的支撑 contained in 半径 $\pi/2$ 的测地球内，必为 Type~I 有限样本可湊，即其方差调制 $m_n$ 满足 $\lim_{n\to\infty} m_n>1$。在旋转对称情况下，我们进一步证明了一个维度诅咒现象：方差调制随维度增加，可根据支撑情况变得任意大。