虚混沌的类噪声解析性质

在本笔记中，我们继续研究虚乘性混沌 $\mu_\beta := \exp(i \beta \Gamma)$，其中 $\Gamma$ 是一个二维连续高斯自由场。我们在此集中关注当 $r \to 0$ 时 $|\mu_\beta(Q(x,r))|$ 的精细尺度解析性质，其中 $Q(x,r)$ 是一个以 $x$ 为中心、边长为 $2r$ 的正方形。更精确地说，我们证明了这个过程的单分形性、当 $r \to 0$ 时的重对数律，并分析了其异常点，这些点与布朗运动的快速点有密切联系。为解决这些问题而发展的一些技术思想也帮助我们确定了虚混沌的精确 Besov 正则性，这是 [JSW20] 中留下的一个开放问题。所有提到的性质都说明了虚混沌的类噪声行为。最后，我们证明过程 $x \mapsto |\mu_\beta(Q(x,r))|^2$，在经过加性和乘性归一化后，当 $r \to 0$ 时在分布意义下收敛于白噪声，但在概率意义下不收敛；这表明乘性混沌的所有信息都包含在 $\mu_\beta(Q(x,r))$ 的角向部分中。