布朗环汤的乘性混沌

我们在平面有界域 D 中构造了给定强度 $\theta>0$ 的布朗环汤厚点上的测度，其形式由对其占据场平方根取指数得到。该测度通过正则化过程构造：以固定速率杀死环，使我们得以利用此前在 [BBK94, AHS20, Jeg20a] 中考虑的布朗乘性混沌测度，或通过离散环汤近似构造。在临界强度 $\theta = 1/2$ 处，我们证明该测度与高斯自由场的双曲余弦一致，而后者与 Liouville 测度密切相关。这使我们得出若干结论，阐明了布朗乘性混沌、高斯自由场与 Liouville 测度间的联系。例如，我们证明 Liouville 典型点具有无穷环重数，每个环对该点总厚度的相对贡献由参数 $\theta = 1/2$ 的 Poisson–Dirichlet 分布描述。反之，与每个环相关的布朗混沌描述了其对 Liouville 测度的微观贡献。在此过程中，我们的证明揭示了与杀死的布朗环汤相关的乘性混沌的惊人精确可积性。我们还获得了一些关于离散与连续环汤的估计，其本身可能具有独立意义。