临界 Brownian 乘性混沌

Brownian 乘性混沌测度在 [Jeg20, AHS20, BBK94] 中被引入，它们是随机 Borel 测度，形式上可以通过将平面 Brownian 运动的局部时间乘以 $\gamma$ 倍的平方根来定义。迄今为止，仅研究了参数 $\gamma$ 小于 2 的次临界测度。本文考虑了 $\gamma =2$ 的临界情况，使用了三种不同的近似过程，它们均导向同一个普适测度。一方面，我们对小圆局部时间的平方根取指数，并证明了在 Seneta--Heyde 归一化以及导数鞅归一化下的收敛性。另一方面，我们将临界测度构造为次临界测度的极限。这是非高斯临界乘性混沌的第一个例子。我们受到临界高斯乘性混沌方法的启发，但存在本质区别，主要区别在于缺乏高斯性，这妨碍了 Kahane 不等式的使用，从而无法进行先验控制。相反，我们证明了一个连续性引理，使得利用随机微积分工具作为有效的替代成为可能。