量子引力与KPZ公式

本文是对B.Duplantier和S.Sheffield的论文《Liouville量子引力与KPZ》的综述（Bourbaki研讨会）。二维（d=2）统计物理模型在临界点的研究通常是一个极其困难的问题（更不用说d=3的情况了）。上世纪八十年代，三位物理学家Knizhnik、Polyakov和Zamolodchikov（KPZ）在\cite{\KPZ}中提出了一种新颖且影响深远的方法来理解这些模型的临界行为。这些模型包括随机游走、渗流以及Ising模型等。该方法的核心思想是通过以下两步过程来研究这些模型：a/ 首先，不是在平面上的规则格点（例如$\Z^2$）上定义模型，而是在精心选择的“随机平面格点”上定义。这相当于研究模型的{\it 量子引力}形式。对于渗流，合适的随机格点选择对应于所谓的平面地图。b/ 然后，需要回到实际的{\it 欧几里得}设定。这通过著名的{\bf KPZ公式}实现，该公式给出了模型在量子引力形式下的几何性质与欧几里得情形下对应性质之间的精确对应关系。这种强大对应的本质和起源长期以来一直相当神秘。事实上，KPZ公式仍未得到严格证明，仍然是一个猜想性的对应关系。本综述的目的是解释Duplantier和Sheffield的最新工作如何揭示KPZ公式背后的一些奥秘。用一句话总结他们的贡献：他们的工作通过将随机格点视为黎曼曲面并对其进行单值化，给出了KPZ对应的优美解释。