关于布朗映射与连续统树的拟对称嵌入

布朗映射是球面上随机几何的模型，因此是概率论与物理学中的重要对象。它已与刘维尔量子引力(Liouville Quantum Gravity)相联系，并得到了大量研究。一个开放问题要求将布朗映射规范地嵌入球面或其他更抽象的度量空间。类似地，刘维尔量子引力已被证明与布朗映射“等价”，但对应（即嵌入）的确切性质仍未知。在本文中，我们证明布朗映射或连续随机树到 $\mathbb{R}^d$、$\mathbb{S}^d$、$\mathbb{T}^d$ 或更一般地任意加倍度量空间的任何嵌入都不可能是拟对称的。我们借助维数理论，通过识别在拟对称映射（如等距映射）下不变且蕴含无穷 Assouad 维数的度量结构来实现这一点。我们用初等方法证明该结构在布朗连续随机树与布朗映射中几乎必然存在。我们进一步证明对度量进行雪片化不足以找到嵌入，并讨论将连续统树作为研究“分形函数”的工具。