随机平面映射与 Liouville 量子引力的树配对：综述

我们综述了随机平面映射的树配对双射及其连续统类比——Duplantier、Miller 与 Sheffield (2014) 的树配对定理——的理论与应用。后一定理用一对相关的线性布朗运动编码了由 Schramm-Loewner 演化 (SLE) 曲线装饰的 Liouville 量子引力 (LQG) 曲面。我们假定读者对 SLE 与 LQG 理论有最少量的了解。树配对理论使得人们能够将关于 SLE 与 LQG 的问题化简为关于布朗运动的问题，并导致随机平面映射与 LQG 之间深刻的严格联系。本文讨论的应用包括：装饰随机平面映射各类泛函的标度极限结果、随机平面映射（未必一致）上图距离与随机游走的估计、与 SLE 相关集合的 Hausdorff 维数计算、平面中共形嵌入的随机平面映射的标度极限结果，以及允许证明其与布朗映射等价的 $\sqrt{8/3}$-LQG 的特殊对称性。