Liouville首达渗流与Watabiki预言的上界

给定一个区域 $\mathcal U$ 中具有Dirichlet边界条件的平面连续高斯自由场 $h^{\mathcal U}$ 和任意 $\delta>0$，令 $\{h_\delta^{\mathcal U}(v): v\in \mathcal U\}$ 为一个实值光滑高斯过程，其中 $h_\delta^{\mathcal U}(v)$ 是 $h^{\mathcal U}$ 以 $v$ 为中心、半径为 $\delta$ 的圆上的平均值。对于 $\gamma > 0$，我们研究Liouville首达渗流（尺度 $\delta$），即 $\mathcal U$ 中的最短路径距离，其中每条路径 $P$ 的权重由 $\int_P \mathrm{e}^{\gamma h_\delta^{\mathcal U}(z)} |dz|$ 给出。我们证明对于足够小但固定的 $\gamma>0$ 和某个常数 $c^* > 0$，两个典型点之间的距离为 $O(\delta^{c^* \gamma^{4/3}/\log \gamma^{-1}})$。此外，我们对离散高斯自由场的Liouville首达渗流以及Liouville图距离获得了类似的上界，后者粗略而言是具有可比较Liouville量子引力测度的欧几里得球的最小数量，这些球的并集包含连接两个端点之间的连续路径。我们的结果与Watabiki关于高温下Liouville量子引力的随机距离的预言（1993）的一些合理诠释相矛盾。