任意维度下对数相关高斯场指数度量的紧性

我们证明了对于任意 $d\geq 2$ 的 $\mathbb R^d$ 上 Liouville 量子引力度量的类比的自然近似格式的紧性。更确切地说，设 $\{h_n\}_{n\geq 1}$ 为逼近 $\mathbb R^d$ 上对数相关高斯场的合适高斯随机函数序列。考虑通过对路径长度加权 $e^{\xi h_n}$ 得到的 $\mathbb R^d$ 上随机度量族，其中 $\xi > 0$ 为参数。我们证明若 $\xi$ 属于亚临界相（由距离指数 $Q(\xi)$ 大于 $\sqrt{2d}$ 的条件定义），则经适当重标度后，这些度量是紧的，且每个子列极限均为 $\mathbb R^d$ 上诱导欧几里得拓扑的度量。我们附上了一份大量的开放问题列表。