类时 Liouville 理论中的规范不变可计算量

类时 Liouville 理论允许球面 $\mathbb{S}^{2}$ 作为一个实鞍点，量子涨落可围绕其发生。在计算特定类型量（如点之间的距离）的期望值时会出现一个问题。问题在于，即使通过施加 $g_{\mu\nu} = e^{2\b\phi}\tilde{g}_{\mu\nu}$ 固定到共形规范后（其中 $\phi$ 是 Liouville 场，$\tilde{g}_{\mu\nu}$ 是参考度规），度规上的路径积分的规范冗余仍未完全固定。物理度规 $g_{\mu\nu}$ 以及因此度规上的路径积分，由于参考坐标在 $SL_{2}(\mathbb{C})$ 坐标变换下的不变性，仍然具有规范冗余。在进行微扰分析之前，必须处理作用的这个零模。本文表明，在固定到共形规范后，由于 $SL_{2}(\mathbb{C})$ 坐标变换导致的线性化 Liouville 作用的剩余零模，可以通过使用标准的 Fadeev-Popov 方法来处理。我们采用参考坐标系的“偶极子”为固定矢量的规范条件，然后对该偶极矢量的所有值进行积分。“偶极”矢量指的是坐标面积在球面上的集中方式；假设球面嵌入在 $\mathbb{R}^{3}$ 中并以原点为中心，且坐标面积被视为球面上的电荷密度。该矢量沿从 $\mathbb{R}^{3}$ 原点指向最大坐标面积方向的射线。我们获得了一个格林函数，并用它计算 $\mathbb{S}^{2}$ 上两点间测地线长度的期望值，精确到类时 Liouville 耦合常数 $\b$ 的二阶。该量不会像朴素幂次计数论证所暗示的那样遭受任何幂律或对数发散。