若干各向异性与各向同性曲率问题解的唯一性

本文中，我们运用多种方法建立了若干各类各向异性和各向同性曲率问题解的唯一性。首先，利用 S. S. Chern \cite{Ch59} 导出的积分公式，我们得到了一类 Orlicz-(Christoffel)-Minkowski 问题光滑可接受解的唯一性。其次，受 Simon 唯一性结果 \cite{Si67} 启发，我们证明如下各向同性曲率问题 \begin{equation}\label{ab-1} \left(\frac{P_k(W)}{P_l(W)}\right)^{\frac{1}{k-l}}=\psi(u,r)\quad \text{on}\ \mathbb{S}^n \end{equation} 的唯一光滑严格凸解必为以原点为中心的球，其中 $W=(\nabla^2 u+u g_0)$，$\partial_1\psi\ge 0,\partial_2\psi\ge 0$ 且这些不等式中至少一个严格成立。作为应用，我们建立了各向同性 Gaussian-Minkowski 问题解的唯一性。最后，我们导出了如下各向同性 $L_p$ 对偶 Minkowski 问题 \begin{equation}\label{ab-2} u^{1-p} r^{q-n-1}\det(W)=1\quad \text{on}\ \mathbb{S}^n, \end{equation} 的唯一性结果，其中 $-n-1<p\le -1$ 且 $n+1\le q\le n+\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{(1+p)(n+1+p)}{n(n+2)}}$。该结果利用了 Ivaki 和 Milman \cite{IM23} 发展的方法，并推广了 Brendle、Choi 和 Daskalopoulos \cite{BCD17} 的一个结果。