一种逆高斯曲率流及其在p-容度Orlicz-Minkowski问题中的应用

在[Calc. Var., 57:5 (2018)]中,Hong-Ye-Zhang提出了$p$-容度Orlicz-Minkowski问题,并通过变分法证明了当$p\in(1,n)$时该问题凸解的存在性。然而,解的光滑性与唯一性仍属开放问题。注意到在光滑情形下,$p$-容度Orlicz-Minkowski问题可等价转化为一类Monge-Ampère型方程:\begin{align}\label{0.1} f\phi(h_K)|\nabla\Psi|^p=\tau G \end{align} 其中$p\in(1,n)$,$\tau>0$为某常数,$f$为单位球面$\mathcal{S}^{n-1}$上定义的正函数,$\phi$为$(0,+\infty)$上连续的正数函数,$G$为高斯曲率。本文中,我们首次借助一类逆高斯曲率流证实了当$p\in(1,n)$时$p$-容度Orlicz-Minkowski问题光滑解的存在性,该流光滑收敛于方程(\ref{0.1})的解。进一步,我们证明了方程(\ref{0.1})在一种特殊情形下的唯一性结果。