关于双曲空间中的弱逆平均曲率流与 Minkowski 型不等式

我们证明，在 $\mathbb{H}^{n}$（$3\leq n \leq 7$）中，逆平均曲率流的一个正规弱解 $\{ \Omega_{t} \}_{0 \leq t < \infty}$ 在时刻 \begin{equation*} T= (n-1) \log \left( \frac{\text{sinh} \left( r_{+} \right)}{ \text{sinh} \left( r_{-} \right)} \right), \end{equation*} 是光滑且星形的，其中 $r_{+}$ 和 $r_{-}$ 是初始域 $\Omega_{0}$ 的测地外径和内径。该论证受 Chow-Gulliver 针对 $\mathbb{R}^{n}$ 中外围曲率流的 Alexandrov 反射法启发，并使用了 Li-Wei 的一个结果。除此之外，我们的方法在所有维度上确立了膨胀球面是 $\mathbb{H}^{n} \setminus \{ 0 \}$ 上唯一的正规弱 IMCF。作为应用，我们将 Brendle-Hung-Wang 和 De Lima-Girao 的 Minkowski 不等式推广到了 $3 \leq n \leq 7$ 维中外部最小化域 $\Omega_{0} \subset \mathbb{H}^{n}$。由此，我们还将一个 Penrose 型不等式推广到了这些维度中 $\mathbb{H}^{n}$ 的外部最小化域外部的平衡渐近双曲图上。