双曲空间中具有非负截面曲率的超曲面的几何不等式

在本文中，我们将利用逆平均曲率流，为双曲空间 ℍ^n 中具有非负截面曲率的超曲面 Σ 建立一个最优的索伯列夫（Sobolev）型不等式。作为一个应用，我们证明了 ℍ^n 中具有非负截面曲率的超曲面的双曲亚历山大罗夫-芬切尔（Alexandrov-Fenchel）不等式：\begin{align*} \int_{\Sigma} p_{2k}\geq \omega_{n-1}\left[\left(\frac{|\Sigma|}{\omega_{n-1}}\right)^\frac{1}{k}+\left(\frac{|\Sigma|}{\omega_{n-1}}\right)^{\frac{1}{k}\frac{n-1-2k}{n-1}}\right]^k, \end{align*} 其中 p_i 为归一化第 i 平均曲率。等号成立当且仅当 Σ 为 ℍ^n 中的测地球面。对于域 Ω⊂ℍ^n，其 Σ=∂Ω 具有非负截面曲率，我们证明了 ℍ^n 中拟质量积分的最优不等式：\begin{align*} W_{2k+1}(\Omega)\geq \frac{\omega_{n-1}}{n}\sum_{i=0}^{k}\frac{n-1-2k}{n-1-2i}C_k^i\left(\frac{|\Sigma|}{\omega_{n-1}}\right)^\frac{n-1-2i}{n-1}, \end{align*} 其中 W_i(Ω) 为积分几何中的第 i 拟质量积分。等号成立当且仅当 Σ 为 ℍ^n 中的测地球面。所有这些不等式此前由 Ge、Wang 和 Wu \cite{Ge-Wang-Wu2014} 在 Σ 为拟球凸的更强条件下证明。