球面上高曲率曲面的阿尔萨斯多罗夫-芬切尔不等式

阿尔萨斯多罗夫-芬切尔不等式是将经典等差不等式 generalizations to arbitrary mixed volumes 的远-reaching generalization，在凸几何中具有根本性地位。在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中，其表述为：$\int_M\sigma_k d\mu_g \ge C(n,k)\big(\int_M\sigma_{k-1} d\mu_g\big)^{\frac{n-k}{n-k+1}}$。在 \cite{Brendle-Guan-Li}（亦见 \cite{Guan-Li-2}）中，Brendle、Guan 和 Li 提出了一个关于 $\mathbb{S}^{n+1}$ 中相应不等式的猜想，这表明两个相邻的准质量积分之间存在尖锐关系：$\mathcal{A}_k(\Omega)\ge \xi_{k,k-1}\big(\mathcal{A}_{k-1}(\Omega)\big)，对于任意$ 1\le k\le n-1$。这是一个长期悬而未决的问题。本文证明了在$\mathbb{S}^{n+1}$中相应不等式的一种类型：$\int_{M}\sigma_kd\mu_g\ge \eta_k\big(\mathcal{A}_{k-1}(\Omega)\big)对于任意 $0\le k\le n-1$。这等价于 $\mathbb{S}^{n+1}$ 中高曲率曲面的三个相邻准质量积分之间的尖锐关系（见 (\ref{ineq three})），也暗示了两个相邻准质量积分之间非尖锐关系$\mathcal{A}_{k}(\Omega)\ge \eta_k\big(\mathcal{A}_{k-1}(\Omega)\big)，对于任意$ 1\le k\le n-1$。