双曲 Alexandrov-Fenchel 等周积分不等式 I

本文证明了双曲空间 \H^n ($n\ge 5)$ 中的以下几何不等式，这是一个双曲 Alexandrov-Fenchel 不等式：$$\begin{array}{rcl} \ds \int_\Sigma \s_4 d \mu\ge \ds\vs C_{n-1}^4\omega_{n-1}\left\{\left(\frac{|\Sigma|}{\omega_{n-1}} \right)^\frac 12 + \left(\frac{|\Sigma|}{\omega_{n-1}} \right)^{\frac 12\frac {n-5}{n-1}} \right\}^2, \end{array}$$ 前提是 $\Sigma$ 为一个 horospherical 凸超曲面。当且仅当 $\Sigma$ 是 \H^n 中的测地球时，等号成立。