双曲Alexandrov-Fenchel均质积分不等式 II

在本文中，我们首先为 \H^n 中的超曲面建立了一个最优的 Sobolev 型不等式（见定理 \ref{mainthm1}）。作为应用，我们得到了关于曲率积分和均质积分的双曲 Alexandrov-Fenchel 不等式。具体而言，我们在双曲空间 \H^n 中证明了以下几何不等式，即一个双曲 Alexandrov-Fenchel 不等式，\begin{equation*} \begin{array}{rcl} \ds \int_\Sigma \s_{2k}\ge \ds\vs C_{n-1}^{2k}\omega_{n-1}\left\{\left(\frac{|\Sigma|}{\omega_{n-1}} \right)^\frac 1k + \left(\frac{|\Sigma|}{\omega_{n-1}} \right)^{\frac 1k\frac {n-1-2k}{n-1}} \right\}^k, \end{array} \end{equation*} 其前提是 $\Sigma$ 为极限球面凸，其中 $2k\leq n-1$。当且仅当 $\Sigma$ 是 \H^n 中的测地球时等号成立。这里 $\sigma_{j}=\s_{j}(\kappa)$ 是第 $j$ 阶平均曲率，$\kappa=(\kappa_1,\kappa_2,\cdots, \kappa_{n-1})$ 是 $\Sigma$ 的主曲率集合。此外，\H^n 中均质积分的一个最优不等式如下：$$W_{2k+1}(\Omega)\geq\frac {\omega_{n-1}}{n}\sum_{i=0}^k\frac{n-1-2k}{n-1-2k+2i}\,C_k^i\bigg(\frac{nW_1(\Omega)}{\omega_{n-1}}\bigg)^{\frac{n-1-2k+2i}{n-1}},$$ 其前提是 \Omega\subset\H^n 是一个以 $\Sigma=\partial\Omega$ 为极限球面凸边界的区域，其中 $2k\leq n-1$。当且仅当 $\Sigma$ 是 \H^n 中的测地球时等号成立。这里 $W_r(\Omega)$ 是积分几何中的均质积分。