KdV 与 KP 方程的不存在性结果

我们研究 Korteweg-deVries (KdV) 方程 $u_t=uu_x+u_{xxx}$ 与 Kadomtsev-Petviashvili (KP) 方程 $u_{yy}=\bigl(u_{xxx}+uu_x+u_t\bigr)_x$ 的特征 Cauchy 问题，其初始数据在原点附近具有非负 Taylor 系数且全纯。对于具有初值 $u(0,x)=u_0(x)$ 的 KdV 方程，我们证明除非 $u_0(x)=a_0+a_1x$，否则在 ${\mathbb C}^2$ 中 $(t,x)=(0,0)$ 的任意邻域内不存在全纯解。这也给出了 KP 方程一类与 $y$ 无关解的不存在性结果。我们通过考虑在 $y=0$ 给定的初值 $u(t,x,0)=u_0(x,t)$、$u_y(t,x,0)=u_1(x,t)$（其中 $u_0$ 和 $u_1$ 关于 $t=0$、$x=0$ 的 Taylor 系数假设非负）将此推广到依赖于 $y$ 的情形。我们证明除非 $u_0$ 和 $u_1$ 是次数不高于 2 的多项式，否则在 ${\mathbb C}^3$ 中原点附近不存在全纯解。