具有阶梯状振荡背景的非局域修正Korteweg-de Vries方程的Riemann-Hilbert方法

本文研究非局域修正Korteweg-de Vries方程 $$u_t(x,t)+6u(x,t)u(-x,-t)u_x(x,t)+u_{xxx}(x,t)=0,$$ 在振荡阶梯状边界条件下的柯西问题：当$x\to-\infty$时$u(x,t)\to 0$，当$x\to\infty$时$u(x,t)\backsimeq A\cos(2Bx+8B^3t)$，其中$A,B>0$为任意常数。主要目标是为此问题发展Riemann-Hilbert形式，特别关注“纯振荡阶梯”初始数据的情况，即当$x<0$时$u(x,0)=0$，当$x\geq0$时$u(x,0)=A\cos(2Bx)$。此外，我们推导出三个新的双孤子解族，它们分别对应于满足$B<\frac{A}{4}$、$B>\frac{A}{4}$和$B=\frac{A}{4}$的$A$和$B$值。