非零边界条件下散焦mKdV方程中的Painlevé超越函数

我们考虑具有非零边界条件的散焦修正Korteweg-de Vries（mKdV）方程的柯西问题 \begin{align} &q_t(x,t)-6q^2(x,t)q_{x}(x,t)+q_{xxx}(x,t)=0, \nonumber &q(x,0)=q_{0}(x)\to \pm 1, \ \ x\rightarrow\pm\infty, \nonumber \end{align} 其可通过逆散射变换利用黎曼-希尔伯特问题来刻画。利用Deift-Zhou非线性最速下降法的$\bar\partial$-推广，结合双缩放极限技术，我们得到了散焦mKdV方程柯西问题解在过渡区域$|x/t+6|t^{2/3}< C$（其中$C>0$）中的长时间渐近性。该渐近性可用第二Painlevé超越函数的解来表示。