Degasperis-Procesi 方程 Cauchy 问题：过渡区的 Painlev\'e 渐近

Degasperis-Procesi (DP) 方程\n\begin{align} &u_t-u_{txx}+3\kappa u_x+4uu_x=3u_x u_{xx}+uu_{xxx}, \nonumber \end{align}\n作为浅水波单向传播的渐近近似，是一种类似 Camassa-Holm 类型且 admits 一个 $3\times3$ 矩阵 Lax 对的可积模型。在我们之前的工作中，我们获得了 DP 方程解 $u(x,t)$ 对 Cauchy 问题在 solitonic 区域 $\{(x,t): \xi>3 \} \cup \{(x,t): \xi<-\frac{3}{8} \}$ 和无 solitonic 区域 $\{(x,t): -\frac{3}{8}<\xi< 0 \} \cup \{(x,t): 0\leq \xi <3 \}$ 中长期渐近，其中 $\xi:=\frac{x}{t}$。本文推导解 $u(x,t)$ 在两个过渡区 $\left|\xi+\frac{3}{8}\right|t^{2/3}<C$ 和 $\left|\xi -3\right|t^{2/3}<C$ 中以 Painlev\'{e} 方程解为主的Leading Order近似，其中 $C>0$ 位于 solitonic 区域与无 solitonic 区域之间。我们的结果通过对 $\bar \partial$ 推广的 Deift-Zhou nonlinear steepest descent 方法以及对相关向量 Riemann-Hilbert 问题进行 double scaling limit 技术实现。