一维具平顶核的非局部 Fisher-KPP 方程的演化问题。第一部分：实直线上的柯西问题

我们研究实直线上非局部 Fisher-KPP 方程在一空间维度下的柯西问题，$$u_t = D u_{xx} + u(1-\phi*u),$$ 其中 $\phi*u$ 是与平顶核 $\phi(y) \equiv H\left(\frac{1}{4}-y^2\right)$ 的空间卷积。在证明该问题整体适定性后，我们表明当扩散系数 $D$ 减小穿过 $\Delta_1 \approx 0.00297$ 时，正的空间周期解从空间均匀稳态解 $u=1$ 分岔而出。我们通过匹配渐近展开法，对这些空间周期解在 $D \ll 1$ 时在一个波长上显式构造为一致有效的渐近近似。在主导阶上，它们由规则间隔、宽度为 $O(1)$ 的紧支撑区域组成，其中 $u=O(1)$，其间由在 $D \to 0^+$ 时主导阶上 $u$ 指数小的区域分隔。由数值解我们发现，对 $D \geq \Delta_1$，生成具有最小波速 $2 \sqrt{D}$ 的定形行波；而对 $0 < D < \Delta_1$，生成的波前将 $u=0$ 的区域与产生稳态周期解的区域分隔开。我们较详细地考察了这些过渡行波的结构。