形式单值参数 a=±i/2 且在原点消失的退化第三类 Painlevé 方程的一参数亚纯解

我们证明对于形式单值参数 $a=\pm i/2$，存在退化第三类 Painlevé 方程在 $\tau=0$ 处消失的一参数亚纯解 $u(\tau)$，\begin{equation*} u^{\prime \prime}(\tau) \! = \! \frac{(u^{\prime}(\tau))^{2}}{u(\tau)} \! - \! \frac{u^{\prime}(\tau)}{\tau} \! + \! \frac{1}{\tau} \! \left(-8 \varepsilon (u(\tau))^{2} \! + \! 2ab \right) \! + \! \frac{b^{2}}{u(\tau)},\qquad \varepsilon=\pm1,\quad\varepsilon b>0, \end{equation*} 我们研究了 $u(\tau)$ 在 $\tau=0$ 处泰勒级数展开系数的数论性质及其当 $\tau\to+\infty$ 时的渐近行为。这些渐近行为针对一般初值数据进行了可视化。