消失形式单值性参数下退化第三类 Painlevé 方程的代数体解

研究了退化第三类 Painlevé 方程 \begin{equation*} u^{\prime \prime}(\tau) \! = \! \frac{(u^{\prime}(\tau))^{2}}{u(\tau)} \! - \! \frac{u^{\prime}(\tau)}{\tau} \! + \! \frac{1}{\tau} \! \left(-8 \varepsilon (u(\tau))^{2} \! + \! 2ab \right) \! + \! \frac{b^{2}}{u(\tau)},\qquad \varepsilon=\pm1,\quad\varepsilon b>0, \end{equation*} 在单值性参数 $a=0$ 时的代数体解的各种性质。本文包含对 $a\in\mathbb{C}$ 时 $\tau\to+0$ 与 $\tau\to+\infty$ 渐近行为的连接结果。利用这些结果，详细考察了具有渐近 $u(\tau)\to c\tau^{1/3}$（$\tau\to0$，其中 $c\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$）的最简单代数体解及其相伴积分 $\int_0^\tau {(u(t))^{-1}\,d t}$，并将其基本渐近行为可视化。