非齐次 Painlevé II 方程解的奇异渐近性

我们考虑 Painlevé II 方程 $$u''(x)=2u^3(x)+xu(x)-\alpha \qquad \textrm{with } \a \in \mathbb{R} \cut \{0\},$$ 的一族解，该解在 $(-\infty, 0)$ 上具有无穷多个极点。利用 Deift-Zhou 针对黎曼-希尔伯特问题的非线性最速下降法，我们严格推导了当 $x \to -\infty$ 时它们的奇异渐近性。同时，我们将已有的当 $x\to +\infty$ 时的渐近结果从 $\a-\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$ 推广到任意实数 $\a$。我们也给出了连接公式。