第四类Painlevé方程Clarkson-McLeod解的奇异渐近性

我们考虑第四类Painlevé方程的Clarkson-McLeod解。该解族在$x\rightarrow +\infty$时形如$\kappa D_{\alpha-\frac{1}{2}}^2(\sqrt{2}x)$，其中$\kappa$为任意实常数，$D_{\alpha-\frac{1}{2}}(x)$为抛物柱面函数。利用Deift-Zhou非线性最速下降法，当$\kappa \left( \kappa -\kappa ^*\right )>0$（$\kappa ^*$为某实常数）时，我们得到了解在$x\to-\infty$时的奇异渐近性。连接公式也被显式求出。这证明并推广了Clarkson与McLeod的猜想：当参数$\kappa >\kappa ^*>0$时，Clarkson-McLeod解在负实轴上具有无穷多个单极点。