第四类 Painlevé 方程的 Clarkson-McLeod 解与抛物线柱面核行列式

第四类 Painlevé 方程的 Clarkson-McLeod 解在 $x\rightarrow +\infty$ 时形如 $\kappa D_{\alpha-\frac{1}{2}}^2(\sqrt{2}x)$，其中 $\kappa$ 为某实常数，$D_{\alpha-\frac{1}{2}}(x)$ 为抛物线柱面函数。利用 Deift-Zhou 非线性最速下降法，我们推导了该类解在 $x\to-\infty$ 时的渐近行为。这完成了 Clarkson 与 McLeod 关于该解族渐近性猜想的证明。我们还推导了 Clarkson-McLeod 解的总积分以及该解族 $\sigma$-形式的渐近近似。进一步地，我们通过一个带抛物线柱面核的可积算子，给出了 Clarkson-McLeod 解 $\sigma$-形式的行列式表示。