一致渐近方法在第二类 Painlevé 超越函数中的应用

本文提出一种研究一类称为 Painlevé 方程的非线性二阶微分方程连接问题的新方法。此类问题可刻画为：当自变量沿复平面中不同方向趋于无穷时，解的渐近行为如何相互关联。连接问题此前已通过多种方法处理，常基于等单值形变思想与 WKB 解的匹配。然而这些方法的具体实施往往带有启发性，因而使过程严格化变得复杂。我们提出的方法对解发展一致逼近，从而无需匹配解，且具有严格性，能以最小计算代价求解连接问题。本方法依赖于寻求形如 ${d^2\phi}/{d\eta^2} = - \xi^2F(\eta,\xi)\phi$ 的微分方程在复值参数 $\xi \to \infty$ 时的一致逼近。处理的细节严重依赖于函数 $F$ 在此极限下零点的位置。若零点孤立，则可借助合适变元的 Airy 函数导出解的一致逼近；反之，若当 $|\xi| \to \infty$ 时 $F$ 的两个零点合并，则可借助抛物柱面函数导出逼近。本文讨论这两种情形，并将抛物柱面情形应用于与第二类 Painlevé 超越函数相关的“经典”连接问题以展示本技术。后续论文将表明该技术几乎不变地应用于其他 Painlevé 方程，以及这些方程通解渐近行为的更广泛问题。