论 Painlevé-II 方程的递增三截断解

带参数 $\alpha$ 的 Painlevé-II 方程的递增三截断解在最大大扇形 $|\arg(x)|<\tfrac{2}{3}\pi$ 中呈现平方根渐近性，并近期出现在需要理解这些解对复值 $\alpha$ 行为的一些应用中。此处从与 Jimbo 和 Miwa 的 Lax 对相关的黎曼-希尔伯特表示的角度研究这些解，该表示自然出现于无穷阶怪波的分析中。我们证明对一般复 $\alpha$，所有此类解在包含远离原点的极点的互补扇形 $|\arg(-x)|<\tfrac{1}{3}\pi$ 的平分射线上均为渐近无极点的。这允许沿含该平分射线的轴定义解的全积分，其中在无穷远处减去某些代数项，并以主值意义处理极点。我们计算了所有此类解的该积分值。我们还证明若 Painlevé-II 参数 $\alpha$ 形如 $\alpha=\pm\tfrac{1}{2}+{\rm i}p$，$p\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$，则其中一个递增三截断解沿该平分轴无任何极点及零点。