第二Painlevé方程的Airy解

本文讨论了第二Painlevé方程（\mbox{\rm P$_{\rm II}$}）以及两个相关方程——Painlevé XXXIV方程（$\mbox{\rm P}_{34}$）和Jimbo-Miwa-Okamoto的\mbox{\rm P$_{\rm II}$}\ (\mbox{\rm S$_{\rm II}$})的σ形式——的Airy解。研究表明，仅依赖于Airy函数$\mathop{\rm Ai}\nolimits(z)$的解与涉及Airy函数$\mathop{\rm Ai}\nolimits(z)$和$\mathop{\rm Bi}\nolimits(z)$线性组合的解具有完全不同的结构。对于这三个方程，仅依赖于$\mathop{\rm Ai}\nolimits(t)$的特殊解是\textit{tronquée}解，即它们在复平面的一个扇形内没有极点。进一步，对于$\mbox{\rm P}_{34}$和\mbox{\rm S$_{\rm II}$}，研究表明在这些\textit{tronquée}解中存在一个在实数轴上无极点的解族。