关于 Painlevé II 方程截断解及其关联哈密顿量的积分

我们考虑 Painlevé II 方程的一族截断解 \begin{equation*} q''(s)=2q(s)^3+sq(s)-(2\alpha+\frac12), \qquad \alpha > -\frac12, \end{equation*} 其由 Stokes 乘子 $$s_1=-e^{-2\alpha \pi i },\quad s_2=\omega, \quad s_3=-e^{2 \alpha \pi i}$$ 刻画，其中 $\omega$ 为自由参数。这些解包含著名的广义 Hastings-McLeod 解作为 $\omega=0$ 时的特例。我们推导了当 $\alpha > -1/2$ 且 $\omega \geq 0$ 时，截断解及其关联哈密顿量沿实轴的积分的渐近式，并显式求出了常数项。若参数 $\alpha$ 与 $\omega$ 取特殊值，我们的结果与文献中已知结果一致。还讨论了我们的结果在随机矩阵论中的一些应用。