一类三阶广义 Lamé 方程的单值性

我们研究如下三阶线性微分方程的单值性 $$y'''(z)-(\alpha\wp(z;\tau)+B)y'(z)+\beta\wp'(z;\tau)y(z)=0,$$ 其中 $B\in\mathbb{C}$ 为参数，$\wp(z;\tau)$ 为具有周期 $1$ 和 $\tau$ 的 Weierstrass $\wp$-函数，$\alpha,\beta$ 为常数，使得奇点 $0$ 处的局部指数为三个互异整数，经对偶变换后总可写为 $-n-l, 1-l, n+2l+2$，其中 $n,l\in\mathbb{N}$。该 ODE 可视为著名 Lamé 方程 $y''(z)-(m(m+1)\wp(z;\tau)+B)y(z)=0$ 的三阶版本。若单值群共轭于酉群的一个子群，则称单值性是酉的。我们证明 \begin{itemize} \item[(i)] 若 $n, l$ 均为奇数，则单值性不可能为酉的； \item[(ii)] 若 $n$ 为奇数且 $l$ 为偶数，则存在有限的 $B$ 值使得单值性为 Klein 四元群，从而为酉的； \item[(iii)] 若 $n$ 为偶数，则是否存在 $B$ 使得单值性为酉的取决于周期 $\tau$ 的选择。 \end{itemize} 研究二阶 Lamé 方程的方法在此不适用，我们需要发展不同的方法分别处理这些不同情形。这些结果在另一工作中对可积 $SU(3)$ Toda 系统有有趣的应用（Chen-Lin，J. Differ. Geom. 待刊）。