具有有限单值群的 Lamé 方程的刻画与计数

我们对平坦环面 $E_\tau = \Bbb C/(\Bbb Z + \Bbb Z\,\tau)$ 上具有有限单值群 $M$ 的经典 Lamé 方程 $y'' = (n(n + 1)\wp(z) + B)y$（其中 $n \in \Bbb R$，$B \in \Bbb C$）给出了完整的刻画。Beuker--Waall 已证明此类 $n$ 必须位于有限个算术级数 $n_i + \Bbb N \subset \Bbb Q$ 中，并确定了所有对应的 $M$。通过结合儿童涂鸦理论与球面环面几何，我们证明了对于每个这样的 $n$，$(B, \tau)$ 的存在性，并描述了所有此类 $(n, B, \tau, M)$。特别是，对于给定的 $(n, M)$ 且 $n \not\in \tfrac{1}{2} + \Bbb Z$，我们证明了 $(B, \tau)$ 的有限性，并推导了它们的显式计数公式。（$n \in \tfrac{1}{2} + \Bbb Z$ 的情况是归功于 Brioschi--Halphen--Crawford 的经典结果。）这项工作的主要要素是：(1) 具有有限单值群的基本球面三角形的定义与分类；(2) 对应于 $n \mapsto n + 1$ 的单元附着过程，该过程将问题简化为基本情形。