n-完备代数的张量积

若 $A$ 和 $B$ 是 $n$- 与 $m$-表示有限 $k$-代数，则它们的张量积 $\Lambda = A\otimes_k B$ 一般不是 $(n+m)$-表示有限的。然而，我们证明若 $A$ 和 $B$ 是无环的且满足较弱的 $n$- 与 $m$-完备性假设，则 $\Lambda$ 是 $(n+m)$-完备的。这反映了一个事实：取高阶 Auslander 代数一般不保持 $d$-表示有限性，但保持 $d$-完备性。作为推论，我们得到了 Herschend 和 Iyama 利用某种扭曲分式卡拉比-丘性质所发现的 $\Lambda$ 为 $(n+m)$-表示有限的必要条件。