广义Lamé方程的几何，II：预模形式的存在性及其应用

本文是一个系列的第二篇，我们从单值性角度继续研究具有Treibich-Verdier势的广义Lamé方程 \begin{equation*} y^{\prime \prime }(z)=\bigg[ \sum_{k=0}^{3}n_{k}(n_{k}+1)\wp(z+\tfrac{ \omega_{k}}{2}|\tau)+B\bigg] y(z),\quad n_{k}\in \mathbb{Z}_{\geq0} \end{equation*}。我们证明存在权为 $\frac{1}{2}\sum n_k(n_k+1)$ 的预模形式 $Z_{r,s}^{\mathbf{n}}(\tau)$，使得单值性数据 $(r,s)$ 由 $Z_{r,s}^{\mathbf{n}}(\tau)=0$ 刻画。这推广了文献\cite{LW2}中的结果，其中Lamé情形（即 $n_1=n_2=n_3=0$）由Wang与第三作者研究。作为应用，我们证明（除其他外）以下两个平均场方程 $$\Delta u+e^u=16\pi\delta_{0}\quad\text{and}\quad \Delta u+e^u=8\pi\sum_{k=1}^3\delta_{\frac{\omega_k}{2}}$$ 在平环面 $E_{\tau}:=\mathbb{C}/(\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau)$ 上具有相同数量的偶解。从偏微分方程的观点看，这一结果相当令人惊讶。