素数测地线定理与字符和的界限

我们建立了模表面上素数测地线定理的指数为 $\frac{2}{3}+\varepsilon$，显著改进了 Soundararajan-Young (2013) 长期以来的指数 $\frac{25}{36}+\varepsilon$。该结果此前仅在广义 Lindelöf 假设成立时（针对二次 Dirichlet $L$ 函数）才被知晓。我们的论证沿着经过验证的路径，通过自动形式性机器，并最大程度地细化了 Iwaniec (1984) 和 Cai (2002) 的技术。关键要素包括：通过 Young (2017) 于二次 Dirichlet $L$ 函数所致的混合 Weyl 强度亚凸界限，对 Kloosterman 和中计数函数的双线性形式的渐近公式；以及由 Heath-Brown (1995) 在临界带边缘处的零密度估计，以及由 Balkanova-Frolenkov-Risager (2022) 所致的 Zagier $L$ 系列平均值的渐近公式。此外，我们在二次 Dirichlet $L$ 函数的广义 Lindelöf 假设成立时，将上述指数进一步强化到 $\frac{5}{8}+\varepsilon$，突破了现有界限。