广义可延展梁方程非平凡解的多重性与集中性

本文研究一类具有超线性非线性的广义可延展梁方程 \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} \Delta ^{2}u-M\left( \Vert \nabla u\Vert _{L^{2}}^{2}\right) \Delta u+\lambda V(x) u=f( x,u) & \text{ in }\mathbb{R}^{N}, \\ u\in H^{2}(\mathbb{R}^{N}), & \end{array}% \right. \end{equation*}% 其中 $N\geq 3$，$M(t) =at^{\delta }+b$，$a,\delta >0$ 且 b\in \mathbb{% R}，$\lambda >0$ 为参数，$V\in C(\mathbb{R}^{N},\mathbb{R})$ 且 $$ 与大多数其他关于此问题的论文不同，我们允许常数 $b$ 为非正，这具有物理意义。在对 $V(x)$ 和 $f(x,u)$ 的某些合适假设下，当 $a$ 较小且 $\lambda$ 足够大时，我们证明存在两个非平凡解 $u_{a,\lambda }^{(1)}$ 和 $$，其中之一将随着非局部项的消失而爆破。此外，当 $\lambda\rightarrow\infty$ 时，$u_{a,\lambda }^{(1)}\rightarrow u_{\infty}^{(1)}$ 且 $$ 在 H^{2}(\mathbb{% R}^{N}) 中强收敛，其中 $u_{\infty}^{(1)}\neq u_{\infty}^{(2)}\in H_{0}^{2}(\Omega )$ 是有界域 $\Omega$ 上 Dirichlet 边值问题的两个非平凡解。值得注意的是，这里探讨了弱解 $u_{\infty}^{(i)}(i=1,2)$ 的正则性。最后，对于足够大的 $a$，也获得了非平凡解的不存在性。