关于二阶和三阶线性微分方程的奇异 Frobenius 方法，第一部分：常微分方程

我们在寻找形式解并研究其收敛性的视角下，研究具有解析系数的二阶和三阶线性微分方程。我们处理了二阶 Frobenius 方法中一些未曾触及的方面，如形式解的收敛性和 Liouvillian 解的存在性。利用解空间给出了正则奇点的一个刻画。得到了此类线性齐次常微分方程的解析分类。这是通过将此类常微分方程与一个 Riccati 微分方程相关联，从而得到一个整体和乐群来实现的。该群是一个可计算的 Moebius 映射群。这些技术适用于经典方程，如 Bessel 方程和 Legendre 方程。在本工作的第二部分，我们研究三阶方程。我们证明了一个类似于经典 Frobenius 定理的定理，它描述了此类常微分方程所有可能的情况和解。在此基础上，我们进而研究非齐次情况下解的存在性，以及与上述二阶方程类似思路下收敛定理的存在性。我们的结果是具体且（计算上）构造性的，旨在为这一重要、有用且引人入胜的科学领域带来新的见解。