黎曼流形上二阶椭圆算子的格林函数：临界情形
偏微分方程分析
2017-07-07 v2
摘要
设 P 是定义在非紧连通黎曼流形 M 上的具有实系数的二阶线性椭圆算子。众所周知，方程 Pu = 0 在 M 中存在一个正的超解（而非解）当且仅当 P 在 M 上存在唯一的正极小格林函数，此时称 P 在 M 中是次临界的。若 P 不存在正格林函数但存在全局正解，则该解称为 P 在 M 中的基态（ground state），并称 P 在 M 中是临界的。我们证明了对于 M 中的临界算子 P，存在一个被 P 的基态在奇点外从上方控制的格林函数。此外，在一类格林函数中，该格林函数是唯一的，至多相差 P 与 P^{\star} 的基态乘积的加项。在进一步假设下，我们描述了此类格林函数在无穷远处的性态。该结果扩展并改进了 P. Li 和 L.-F. Tam 关于光滑完备黎曼流形 M 上 Laplace-Beltrami 算子对称格林函数存在的著名结果。
引用
@article{arxiv.1609.08200,
title = {On Green functions of second-order elliptic operators on Riemannian manifolds: The critical case},
author = {Debdip Ganguly and Yehuda Pinchover},
journal= {arXiv preprint arXiv:1609.08200},
year = {2017}
}
备注
Some new results added and Lemma 3.1 is modified