二阶椭圆算子的随机完备性与L^1-Liouville性质

设$P$为定义在非紧黎曼流形$M$上的具有实系数的线性二阶椭圆算子，且满足$P1=0$。进一步假设$P$在$M$中容许一个极小正Green函数。我们证明存在定义在$M$上的光滑正函数$\rho$，使得$M$关于算子$P_{\rho} := \rho \, P$是随机不完备的，即$$\int_{M} k_{P_{\rho}}^{M}(x, y, t) \ {\rm d}y < 1 \qquad \forall (x, t) \in M \times (0, \infty),$$其中$k_{P_{\rho}}^{M}$表示与$P_{\rho}$相关联的极小正热核。此外，$M$关于$P_{\rho}$是$L^1$-Liouville的当且仅当$M$关于$P$是$L^1$-Liouville的。另外，我们研究了两个二阶椭圆算子的斜积之间的随机完备性与$L^1$-Liouville性质的交互关系。