黎曼流形上的逼近、正则性与正性保持

本文聚焦于黎曼流形 $(M,g)$ 上的 $L^{p}$-正性保持性质（简称 $L^{p}$-PP）。该性质表明，任何 $L^p$ 函数 $u$（其中 $1<p<+\infty$），若在分布意义下满足 $(-\Delta + 1)u\ge 0$，则必定是非负的。我们的主要结果是，如果（可能不完备的）$M$ 相对于某个紧致域具有有限个末端，且每个末端对于某些可能不同的值 $2p/(p-1) < q \leq +\infty$ 是 $q$-抛物的，则 $L^{p}$-PP 成立。当 $p=2$ 时，由于 $\infty$-抛物性等同于测地完备性，我们的结果正面解决了 M. Braverman, O. Milatovic 和 M. Shubin 在 2002 年提出的一个猜想。另一方面，我们还证明了 $L^{p}$-PP 在从一个完备流形中移除一个可能奇异的集合时是稳定的，只要该集合的 Hausdorff 余维数严格大于 $2p/(p-1)$ 或具有阶为 $2p/(p-1)$ 的一致 Minkowski 型上界估计。阈值 $2p/(p-1)$ 是精确的，因为我们证明当移除集合的 Hausdorff 余维数严格小于该值时，$L^{p}$-PP 不成立。这给出了一个相当完整的图景。为开展我们的研究而开发的工具包括光滑单调逼近及其对次调和分布的相应正则性结果、Brezis-Kato 不等式的流形版本、低正则性下的 Liouville 型定理、$L^{p}$-次调和分布的可去奇点结果以及一个 Frostman 型引理。自 T. Kato 的开创性工作以来，$L^{p}$-PP 一直与具有奇异势 $\Delta - V$ 的薛定谔算子的谱理论相关联。在此，我们展示了本文主要结果的一些应用，针对 $V\in L^p_{loc}$ 的情况，讨论了当 $p=2$ 时算子的本质自伴性以及 $C^\infty_c(M)$ 是否为 $\Delta-V$ 在 $L^p$ 中的算子核。