具有反对称一阶势的偶阶椭圆组的 $L^p$ 正则性理论

受Rivière（2011）一项颇具挑战的预期的启发，在deLongueville-Gastel（2019）近期有趣的工作中，de Longueville与Gastel提出了如下几何偶阶椭圆组 \begin{equation*} \Delta^{m}u=\sum_{l=0}^{m-1}\Delta^{l}\left\langle V_{l},du\right\rangle +\sum_{l=0}^{m-2}\Delta^{l}\delta\left(w_{l}du\right)\qquad \text{ in } B^{2m}\label{eq: Longue-Gastel system} \end{equation*} 其包含多调和映射作为特例。在对系数函数作最小正则性假设并对一阶势附加代数反对称假设下，他们成功建立了该组的守恒律，并由此得到弱解处处连续。这一优美结果标志着Rivière预期的重大进展。本文中，我们探求上述组的最优内正则性，旨在对前述Rivière预期给出更完备的解答。结合其守恒律与若干新思路，我们获得了相关非齐次组弱解的最优Hölder连续性与尖锐 $L^p$ 正则性理论，类似于Sharp与Topping \cite{Sharp-Topping-2013-TAMS} 的结果。我们的结果可应用于多调和映射的热流与气泡分析研究。