最小正则性下闭流形上的 $L^p$ 型 Sobolev 理论：标量椭圆方程

本文及其后续作品（arXiv:2508.11109）关注于在最小正则性的流形上求解原型偏微分方程（PDE）的适格性和 $L^p$ 型 Sobolev 正则性。具体而言，域被假设为紧致、连通的 $d$ 维无边界的 $C^k$ 类和 $C^{k-1,1}$ 类（$k \geq 1$）嵌入 $\mathbb{R}^{d+1}$ 的流形。本计划的焦点是相对于源项和流形正则性的锋利 $L^p$ 型理论。在本文中，我们关注一般标量椭圆问题。我们首先通过局部化和在平坦域中重写这些方程来建立 $L^p$ 型适格性和更高正则性，以运用Calder\'{o}n--Zygmund 理论，结合对偶论证。随后我们引用Fredholm 备选原理来推导一般标量椭圆问题的类似结果，凸显几何环境相对于平坦域理论所带来的细微差异。