具有单调半线性项的随机偏微分方程的 $L^p$ 估计与正则性

考虑有界域 $\mathscr{D}$ 上的半线性随机偏微分方程。半线性项可以具有任意多项式增长，只要它是连续且单调的（可能除原点附近外）。典型例子包括随机 Allen-Cahn 方程和 Ginzburg-Landau 方程。本文的第一个主要结果是此类方程的 $L^p$ 估计。随后利用 $L^p$ 估计获得更高正则性。这受到为获取此类方程数值近似的收敛速度估计而进行的持续工作的启发。在适当假设下，证明解在时间上连续，取值于 Sobolev 空间 $H^2(\mathscr{D}')$，且 $\ell^2$ 可积，取值于 $H^3(\mathscr{D}')$，对任意紧子集 $\mathscr{D}' \subset \mathscr{D}$。利用 Kim~\cite{kim04} 得到的 SPDE $L^p$ 理论结果，我们在整个 $\mathscr{D}$ 上的加权 Sobolev 空间中获得类似结果。最后证明解作为取值于加权 $L^q$ 空间的过程，在时间上是 $\frac{1}{2} - \frac{2}{q}$ 阶的 Hölder 连续，其中 $q$ 来自对初始条件和强迫项施加的可积性假设。