$p$-Laplacian 型一般椭圆方程的全局 Sobolev 正则性

我们在 $n$ 维 Reifenberg 平坦区域上推导了如下形式拟线性椭圆方程 $W^{1,p}_0(\Omega)$-弱解的全局梯度估计：$$\mathrm{div\,}\mathbf{a}(x,u,Du)=\mathrm{div\,}(|F|^{p-2}F)$$。假设椭圆微分算子的非线性项关于 $x$ 是小 BMO 的，且关于 $u$ 是 Hölder 连续的。在 $p\geq n$ 的情况下，我们仅允许 $u$ 中的非线性是连续的。我们的结果极大地改进了文献中已有的正则性结果。事实上，我们不仅能够将关于 $u$ 的非线性正则性要求从 Lipschitz 连续性减弱为 Hölder 连续性，而且还找到了一个极低水平的区域边界几何假设，以确保所得梯度估计的全局性质。