临界椭圆 PDE 系统解的高阶可积性

我们对 Rivi\`ere-Struwe 在 \cite{riviere_struwe} 中引入的临界椭圆系统（另见 Rupflin \cite{rupflin} 和 Schikorra \cite{schikorra_frames} 的工作）给出了新的估计，该系统推广了从欧几里得球 $B_1 \In \R^n$ 到黎曼流形的调和（及近调和）映射所满足的 PDE。解的形式为 $$-\Dl u = \Om.\D u$$，其中 $\Om$ 是反对称势，且 $\Om$ 和 $\D u$ 属于 Morrey 空间 $\M^{2,n-2}$，这使得 PDE 从正则性角度看是临界的（经典理论给出了弱-Morrey 空间 $\M^{(2,\infty),n-2}$ 中 $\D u$ 的估计，定义见 \ref{adams_decay} 和 \ref{Morrey} 节）。我们采用了 \cite{riviere_struwe} 中的库仑标架法，结合 \cite{rupflin} 中已获得的 H"older 正则性，并扩展了 Adams \cite{adams_riesz} 的 Riesz 势估计，从而获得对任意 $s<2$ 的 $\D^2 u \in \M^{s, n-2}$ 的估计。这些方法适用于 $n=2$ 的情况，从而利用库仑规范方法重新证明了该情形下的完全正则性（见 \cite{Sh_To}）。此外，它们还导出了高维静止调和映射局部正则性的自包含证明（见推论 \ref{highint}）。