半线性椭圆型偏微分方程的广义解及其在 Lichnerowicz 方程中的应用

在本文中，我们研究具有分布系数与分布数据的半线性椭圆型偏微分方程解的存在性。我们考虑的问题是 Lichnerowicz 方程的推广，后者出现在对广义相对论中约束方程的研究中。我们解决该问题的方法包括求解一个正则化半线性问题网，其数据是通过对原始的分布系数进行平滑化得到的。为了求解这些正则化问题，我们发展了先验逐点界和下解与上解，随后对保序映射应用不动点论证。然后，通过确定下解与上解的估计并利用经典的椭圆先验估计，我们表明通过此过程获得的解网满足特定的衰减估计。对该解网的估计使我们能够将这一函数集合视为 Colombeau 型代数中的解。我们首先通过求解一个不适定的临界指数问题来阐述这一 Colombeau 代数框架的动机。为求解该不适定问题，我们使用了一系列平滑的“逼近”问题，随后利用所得的解序列与紧致性论证来获得原问题的解。该方法以我们发展的更一般的 Colombeau 框架为模型，并且表明了这些抽象空间中的解在获得具有不规则数据的不适定非线性问题的经典解方面所具有的潜力。